Propos liminaire : Ce court article est né d’une conversation, ou plutôt de plusieurs. Après la publication du « Rendez-vous manqué avec les mathématiques« , j’ai reçu beaucoup de messages de lecteurs, souvent ceux qui se décrivaient comme « nuls en maths », qui avaient été touchés par quelque chose dans ce texte. Et parmi toutes les questions, il y en avait une qui revenait plus souvent que les autres, posée tantôt avec curiosité, tantôt avec une sorte d’inquiétude métaphysique à peine dissimulée : « Mais au fond, les mathématiques existaient-elles avant les mathématiciens ? » Ce n’est pas une question de cours. C’est une question de philosophe. Et c’est précisément pourquoi elle méritait un article entier.
Le vertige d’une question sans réponse
L’ombre s’étire lentement sur le sable chaud. Nous sommes en Égypte, il y a plus de deux mille cinq cents ans. Un homme observe la Grande Pyramide de Khéops, monumentale, écrasante, dont la pointe semble défier le ciel. Cet homme, c’est Thalès de Milet. Il a planté son bâton verticalement dans le sol. Il attend. Il attend l’instant précis où la longueur de l’ombre de son bâton sera exactement égale à la hauteur du bâton lui-même. À cet instant, il le sait, la longueur de l’ombre de la pyramide, ajoutée à la moitié de sa base, lui donnera la hauteur de l’édifice [1].
La scène est fascinante. Sans gravir une seule marche, par la simple force d’une proportionnalité géométrique, un esprit humain vient de capturer la dimension d’une montagne de pierre. Mais cette scène fondatrice pose une question bien plus vertigineuse que la mesure elle-même. Ce matin-là, sous le soleil égyptien, Thalès a-t-il inventé le théorème qui portera son nom, ou a-t-il simplement vu ce qui était déjà là ? Cette proportionnalité entre les ombres et les objets, dictée par les rayons du soleil, existait-elle avant que l’humanité n’apparaisse ?
Cette interrogation divise les philosophes et les mathématiciens depuis l’Antiquité. Les mathématiques sont-elles une invention de notre esprit, ou une découverte des lois profondes de l’univers ? Le plus beau dans cette question, c’est qu’elle n’a pas de réponse définitive. Et c’est précisément pour cela qu’elle devrait être la première chose que l’on aborde dans un cours de mathématiques.
Un théorème qui n’attendait pas son nom
Pour comprendre le premier camp, celui de la découverte, il faut se tourner vers une idée que l’on appelle le platonisme mathématique. Selon cette vision, les objets mathématiques, les nombres, les cercles parfaits, les équations, existent réellement. Ils ne sont pas faits de matière, on ne peut pas les toucher, mais ils possèdent une existence indépendante de la pensée humaine [2]. Le théorème de Pythagore était vrai avant la naissance de Pythagore, et il continuera d’être vrai si l’humanité tout entière vient à disparaître.
L’un des arguments les plus troublants en faveur de cette idée est la convergence indépendante. À des milliers de kilomètres de distance, et à des époques différentes, des civilisations qui ne s’étaient jamais rencontrées ont découvert les mêmes vérités mathématiques. Les Babyloniens, bien avant les Grecs, connaissaient et utilisaient la relation géométrique que nous appelons aujourd’hui théorème de Pythagore [3]. Plus tard, au dix-septième siècle, Isaac Newton en Angleterre et Gottfried Wilhelm Leibniz en Allemagne ont développé, de manière totalement indépendante et presque simultanée, les bases du calcul infinitésimal [4]. Comment expliquer ces coïncidences si les mathématiques n’étaient qu’une création arbitraire de l’esprit ? Ne dirait-on pas plutôt que ces génies ont exploré le même continent invisible, dessinant la carte des mêmes montagnes abstraites ?
Mais l’argument le plus puissant en faveur de la découverte a été formulé en 1960 par le physicien et prix Nobel Eugene Wigner, dans un article célèbre intitulé La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles [5]. Wigner s’émerveillait d’un fait presque mystérieux : des concepts mathématiques développés par pure curiosité, sans aucune préoccupation pour le monde réel, se révèlent souvent, des décennies plus tard, être l’outil exact dont les physiciens ont besoin pour décrire l’univers.
Prenez les nombres complexes, ces nombres étranges impliquant la racine carrée de nombres négatifs. Ils ont été inventés par les mathématiciens de la Renaissance pour résoudre des équations abstraites. Ils semblaient n’avoir aucun lien avec la réalité physique. Pourtant, au vingtième siècle, lorsque les physiciens ont commencé à explorer le monde infiniment petit des atomes, ils ont découvert que la mécanique quantique ne pouvait tout simplement pas être formulée sans utiliser ces fameux nombres complexes [5]. Comme l’écrit Wigner, c’est un miracle que nous ne comprenons ni ne méritons. Si les mathématiques étaient une pure invention humaine, comment expliquer qu’elles épousent si parfaitement la structure intime de la matière ?
Ce tableau est séduisant. Mais il laisse une question en suspens : si les vérités mathématiques existent indépendamment de nous, comment y accédons-nous ? Nous n’avons pas de sens pour percevoir les nombres abstraits comme nous percevons la chaleur ou la lumière. Le platonisme décrit un monde de vérités éternelles, mais reste muet sur la façon dont un cerveau de chair peut en avoir connaissance. C’est cette difficulté qui ouvre la porte au camp adverse.
Le jeu de symboles le plus puissant du monde
Le camp de l’invention part d’une idée radicalement différente. Cette école de pensée, souvent associée au formalisme et à des figures comme David Hilbert, considère les mathématiques comme un jeu. Un jeu extrêmement complexe, avec des règles très strictes appelées axiomes, mais un jeu tout de même [6]. Selon cette vision, nous inventons les règles, puis nous explorons les conséquences logiques de ces règles. Les mathématiques ne seraient qu’un langage cohérent que nous avons construit, un outil de notre esprit.
L’histoire des géométries non euclidiennes illustre parfaitement cette idée. Pendant plus de deux mille ans, tout le monde pensait que la géométrie d’Euclide, celle que l’on apprend à l’école, était la seule possible, la seule vraie. L’une de ses règles stipulait que par un point extérieur à une droite, il ne passe qu’une seule droite parallèle. Mais au dix-neuvième siècle, des mathématiciens comme Nikolaï Lobatchevski et János Bolyai ont osé modifier cette règle, juste pour voir ce qui se passerait [7]. Ils ont inventé de nouvelles géométries, des mondes abstraits où plusieurs parallèles peuvent passer par un même point, ou au contraire, aucune.
Ces géométries semblaient être de pures fictions, des jeux de l’esprit sans rapport avec notre espace réel. Et pourtant, près d’un siècle plus tard, Albert Einstein a utilisé la géométrie courbe développée par Bernhard Riemann pour formuler sa théorie de la relativité générale [8]. L’espace-temps de notre univers s’est avéré ne pas être euclidien. Les mathématiciens n’avaient pas découvert la forme de l’univers, ils avaient inventé un catalogue de formes possibles, et le physicien a simplement pioché dans ce catalogue la forme qui correspondait à ses observations.
Il y a pourtant, dans ce camp de l’invention, un argument que l’on ne peut pas esquiver, et qui vient de l’intérieur même des mathématiques. En 1931, un jeune logicien autrichien de vingt-cinq ans, Kurt Gödel, publie deux théorèmes qui vont ébranler le projet de Hilbert jusque dans ses fondations. Ce que Gödel démontre, c’est que tout système logique suffisamment riche pour contenir l’arithmétique de base renferme nécessairement des affirmations vraies qu’il est impossible de prouver depuis l’intérieur de ce même système [9]. Autrement dit, les mathématiques ne peuvent pas garantir leur propre cohérence par leurs propres moyens. Le bâtiment est solide, mais il repose sur un sol qu’il ne peut pas lui-même sonder.
Le paradoxe est que Gödel lui-même n’était pas du tout du camp de l’invention. Il était, au contraire, profondément platonicien : il voyait dans ses propres théorèmes non pas une limite des mathématiques, mais la preuve que l’esprit humain échappe à toute mécanique formelle [9]. Si notre cerveau peut percevoir des vérités que le système ne peut pas démontrer, c’est que nous accédons à quelque chose qui dépasse le système. Pour Gödel, l’incomplétude était une fenêtre ouverte sur le platonisme, pas un argument contre lui. C’est pourtant d’autres penseurs, comme Luitzen Egbertus Jan Brouwer et les intuitionnistes, qui ont tiré la conclusion inverse : un objet mathématique n’existe que s’il peut être effectivement construit, pas seulement postulé ou déduit par l’absurde [11]. Pour un intuitionniste, prouver qu’un objet ne peut pas ne pas exister n’est pas suffisant : il faut pouvoir le construire, le montrer, le produire. Cette position tranche avec une netteté presque radicale : les mathématiques ne découvrent rien et n’inventent rien en dehors de ce que l’esprit peut réellement faire. Elles sont le reflet de nos opérations mentales, rien de plus, rien de moins.
Quand l’esprit et l’univers se rejoignent
Face à cette impasse, où Platon affronte Hilbert et Brouwer sans qu’aucun ne puisse triompher, certains penseurs ont cherché une troisième voie. Non pas un compromis mou entre les deux camps, mais une hypothèse plus profonde : et si la question elle-même était mal posée ? Et si inventer et découvrir n’étaient pas deux opérations opposées, mais les deux faces d’un même mouvement ?
C’est là que la pensée d’Henri Poincaré devient précieuse. Dans Science et méthode, publié en 1908, Poincaré décrit la création mathématique comme un processus qui n’est ni purement logique ni purement intuitif [10]. Il raconte un épisode resté célèbre : il travaillait depuis des semaines sur un problème de fonctions mathématiques sans parvenir à le résoudre. Un soir, n’y pensant plus, il monte dans un omnibus à Coutances. Au moment où son pied touche le marchepied, la solution lui apparaît, complète, évidente, sans effort apparent. Ce n’est pas la logique qui a travaillé pendant ce trajet, c’est autre chose, ce que Poincaré appelle le moi inconscient, une instance souterraine qui continue à combiner des idées dans l’ombre, et qui ne livre à la conscience que les combinaisons qu’elle juge belles [10]. Belles. Le mot est important. Pour Poincaré, le critère qui guide l’invention mathématique n’est pas l’utilité, ni même la vérité immédiate : c’est l’harmonie, une sensibilité esthétique qui fait reconnaître une structure juste avant même de pouvoir la démontrer.
Cette idée ouvre une perspective inattendue. Si le mathématicien est guidé par un sens de l’harmonie, et si ce sens lui permet de trouver des structures qui décrivent ensuite le monde réel, c’est peut-être parce que ce sens n’est pas arbitraire. Nos cerveaux n’ont pas été parachutés dans cet univers, ils ont été façonnés par lui. L’évolution, au fil de millions d’années, a sculpté nos réseaux neuronaux pour qu’ils interagissent efficacement avec le monde physique. Il n’est donc peut-être pas si surprenant que les structures que notre esprit perçoit comme harmonieuses finissent par correspondre aux structures que la physique découvre dans la matière. Nous sommes, en un sens profond, faits de la même étoffe que les étoiles. L’harmonie que Poincaré ressent devant une belle démonstration serait alors un écho de l’harmonie du monde, non pas une coïncidence, mais une résonance.
C’est ce que l’on pourrait appeler la thèse de la co-émergence : les mathématiques ne sont ni purement inventées ni purement découvertes. Elles émergent de la rencontre entre l’architecture de notre esprit et la structure de l’univers. Elles sont le langage que cette rencontre a produit. Pour tester cette idée, on peut pousser la question à l’extrême : qu’en serait-il d’une civilisation extraterrestre, dotée d’une biologie radicalement différente, d’organes sensoriels sans équivalent, d’une logique peut-être à trois valeurs plutôt que deux ? Ses mathématiques auraient certainement une autre forme, d’autres notations, d’autres points de départ. Mais il est raisonnable de penser que les relations fondamentales qu’elles décriraient, la proportionnalité, la conservation, la symétrie, resteraient les mêmes, parce que ces relations sont inscrites dans la structure de la réalité physique que toute intelligence, quelle que soit sa nature, doit affronter pour survivre.
Mais la thèse de la co-émergence se heurte à un défi que l’on ne peut pas ignorer. Que faire des structures mathématiques qui semblent échapper à tout ancrage dans le monde physique, et même à toute possibilité de construction mentale ? En 1905, le mathématicien Giuseppe Vitali a démontré l’existence d’ensembles de nombres réels qui ne peuvent pas être mesurés au sens ordinaire du terme, des objets dont on peut prouver l’existence logique, mais qu’il est rigoureusement impossible de construire ou de visualiser [12]. Ces ensembles non mesurables n’ont aucun équivalent dans le monde physique. Aucune expérience ne les révèle, aucune intuition ne les fait surgir. Ils existent parce que les règles du jeu logique les autorisent, et pour aucune autre raison. Sont-ils découverts ou inventés ? Ni l’un ni l’autre, pourrait-on dire : ils sont déduits, produits par la seule force de la cohérence interne du système. Et c’est précisément là que la co-émergence trouve sa limite : elle rend bien compte des mathématiques qui dialoguent avec le monde, mais elle peine à expliquer celles qui s’en éloignent délibérément, ces régions abstraites où l’esprit humain s’aventure au-delà de toute résonance avec la réalité sensible.
La question de septembre
Voilà pourquoi cette question devrait ouvrir chaque premier cours de mathématiques de l’année. Imaginez un instant des élèves de onze ans, s’asseyant à leur bureau début septembre. Les cartables sentent encore le neuf, les pages des cahiers sont vierges. Au lieu de commencer immédiatement par des règles de calcul ou des définitions arides, le professeur écrirait au tableau une seule phrase : « Les mathématiques ont-elles été inventées ou découvertes ? » Et il laisserait le silence faire son travail.
Ce silence serait précieux. Parce que dans ce silence, quelque chose se passerait que les formules ne peuvent pas provoquer : les élèves se mettraient à penser par eux-mêmes. Certains diraient inventées, parce qu’on les apprend dans des livres écrits par des hommes. D’autres diraient découvertes, parce que deux et deux font quatre même quand personne ne le dit. Et quelques-uns, les plus troublés, resteraient muets, sentant confusément que la question touche à quelque chose de plus grand qu’une réponse. Ces derniers auraient peut-être le plus juste instinct. Car cette question ne mène pas à une réponse. Elle mène plus loin.
Il y a quelque chose de vertigineux dans le fait qu’une discipline aussi rigoureuse, aussi précise, aussi imperméable en apparence à l’ambiguïté, soit celle qui nous ramène le plus sûrement à ces questions sans fond. Pythagore cherchait des rapports entre des nombres et il a cru entendre la musique des sphères. Gödel a cherché à fonder la logique sur elle-même et il a découvert qu’elle portait en elle une béance irréductible. Wigner a cherché à comprendre pourquoi les équations fonctionnaient si bien et il a confessé ne pas le comprendre du tout. À chaque fois, la rigueur a conduit non pas à la clôture, mais à l’ouverture. Comme si les mathématiques étaient une porte que l’on croit franchir, et qui révèle, une fois passée, un couloir plus long encore.
C’est peut-être là leur plus grand secret. Les mathématiques seules sont une langue sans locuteur, parfaite et silencieuse, tournant sur elle-même comme une cathédrale vide dont personne n’aurait jamais poussé les portes. La physique seule est une écoute sans mots, attentive et muette, capable de percevoir le frémissement du réel mais incapable de lui donner une forme exacte. Mais quand l’une devient la voix de l’autre, quand la rigueur du symbole épouse l’obstination de l’observation, quelque chose d’unique surgit dans l’histoire de la pensée humaine : la capacité de poser une question à l’univers et d’obtenir une réponse exacte. Pas une approximation. Pas une métaphore. Une réponse.
Les anciens avaient pressenti cette alliance sans pouvoir la nommer avec nos mots. Ils avaient compris, bien avant que la science existe, que le chaos apparent du monde n’était qu’une surface. Que sous le désordre du visible, sous le tumulte des eaux et le mouvement des astres, il y avait un ordre, immuable, silencieux, attendant d’être lu. Ils appelaient sacré ce qui, dans la proportion des nombres et la perfection des formes géométriques, semblait à la fois produit par l’homme et infiniment plus grand que lui. Non pas une technique. Une révélation. La révélation que l’univers n’est pas chaos, mais architecture. Que derrière le voile du visible, une structure veille. Et que cette structure, pour qui sait regarder, peut être lue. Ordo ab chao : l’ordre surgit du chaos, non pas comme un miracle, mais comme une vérité qui attendait, depuis toujours, que quelqu’un se donne la peine de la chercher.
Nous savons aujourd’hui que ce pressentiment n’était pas une illusion. Mathématiques et physique réunies sont peut-être le seul langage que l’univers accepte de parler à ceux qui savent l’écouter. Le plus puissant, le plus universel, le plus humble aussi : car plus il révèle, plus il montre l’étendue de ce qui reste à comprendre. Ce que ce langage nous dira encore de l’univers, et peut-être de nous-mêmes, nous ne le savons pas. C’est le sujet d’une autre conversation.
En cherchant à comprendre l’ombre de la pyramide, nous finissons par nous interroger sur la nature même de la lumière.
Références
Pour les esprits méticuleux, amateurs de chiffres et de nuits blanches à vérifier les sources, voici les liens qui ont nourri cet article. Ils rappellent une chose simple : l’information existe encore, pour peu qu’on prenne le temps de la lire, de la comparer et de la comprendre. Mais dans un avenir proche, ce simple geste deviendra peut-être un luxe, car à mesure que les textes générés intégralement par des IA se multiplient, le vrai risque n’est plus la désinformation, mais la dilution du réel dans un océan de contenus simplement plausibles.
[1] « Some Original Sources for Modern Tales of Thales », Mathematical Association of America, Convergence.
[2] Linnebo, Øystein, « Platonism in the Philosophy of Mathematics », The Stanford Encyclopedia of Philosophy, édition 2023.
[3] « Théorème de Pythagore : aspect historique », Zeste de Savoir, novembre 2024. [4] « Histoire du calcul infinitésimal », Wikipédia.
[5] Wigner, Eugene P., « The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences », Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, No. I, 1960.
[6] Weir, Alan, « Formalism in the Philosophy of Mathematics », The Stanford Encyclopedia of Philosophy, édition 2022.
[7] « Géométrie de Lobatchevski-Bolyai », Tangente Magazine, mars 2026.
[8] « Riemann et la relativité », Pour la Science, août 2002.
[9] « Théorèmes d’incomplétude de Gödel », Wikipédia.
[10] Poincaré, Henri, Science et méthode, Flammarion, 1908. Extrait lu par Étienne Ghys, Petites histoires de science, Académie des sciences / Institut de France, 7 août 2025.
[11] « Intuitionnisme », Wikipédia ; voir aussi Mancosu, Paolo, From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, 1998.
[12] Vitali, Giuseppe, « Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta », Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905. Voir aussi « Ensemble de Vitali », Wikipédia.